Freddy Ogando

May 11, 2019

Optimización: Análisis de Equilibrio

(Preliminar, en desarrollo)

Equilibrio Intermedio: Fuerzas opuestas se equilibran entre sí, y por todo se evita cualquier tendencia a cambiar. Equilibrio de mercado (Análisis Estático).
Equilibrio final: Estado de quilibrio como una posición óptima para una dterminada unidad económica, la cual lucha de manera deliverada para alcanzar la condición e equilibrio ($\pi$ $máximo$).
Optimizar: Elegir la meor alternativa posible en base a criterios específicos. Criterio mas común: Máximo y mínimo (valor extremo).

Formulación de un problema de Optimización:

1. Función Objetivo:

• Variable dependiente: $$Objetivo {{\longrightarrow} Max \atop {\longrightarrow} Min}$$
• Variables independientes: Variables de Elección

Esencia del Problema: Encontrar el conjunto de valores de las variables independientes que conducen al extremo deseado de la variable dependiente.

Máximo y Mínimo Relativo:

Extremo relativo: Representa un extremo en la vecindad inmediata del punto.
Extremo Absoluto: El mayor o menor de todos los extremos relativos y puntos extremos.

Criterio de primera derivada:

$$f'(x) = 0 {{\longrightarrow}\; Valor \; Estacionario \atop {\longrightarrow} \; Condición \; Necesaria}$$

• La estipulación de cambio de signo inmediatamente a ambos lados del punto estacionario -condición suficiente.

Simulación gráficas (pendiente)

Dominio: Valores que puede asumir la variable independiente.
Imagen: Valores determinados para la variable dependiente.

Derivadas Segundas y de Orden Superior

Derivada de una derivada $f''(x)$ o $\displaystyle{d^{a}_y \over dx^2}$ y así sucesivamente para orden superior.

Interpretación:

$f''(x)$: El ritmo al que crece la tasa de cambio.

	$f''(x) > 0 \longrightarrow Creciente \; \; \; |$	$f''(x) < 0 \longrightarrow Decreciente$
Curva: $\;\;\;$	Extrictamente convexa	Extrictamente Concava
Extremo: $\;\;\;$	Mínimo	Máximo

• En un punto de inflexión $f'(x)$ no cambia de singo a los lados cercanos al valor estacionario pero $f''(x)$ sí según el ritmo.

Criterio de la segunda derivada

• Condición necesaria de primer orden $f'(x) = 0$
• Condición suficiente de segundo orden signo $f''(x) {{> 0 \longrightarrow Mínimo} \atop {< 0 \longrightarrow Máximo}}$

Sustituir el valor de x que hace $f'(x) =0$ en $f''(x)$.

Procedimiento (en terminos prácticos)

1. Obtener la primera derivada de la función dada ($f'(x)$)
2. Igualar a cero la función resultante ($f'(x) = 0$)y resolver ecuación obteniendo las $x_i*$
3. Obtener la segunda derivada ($f''(x)$)
4. Sustituir las $x_i*$ en  la segunda derivada ($f''(x)$)

Caso de más de una variable de Elección

$$Z=f(x,y)$$
Diferencial Total: $dz= {\delta z \over \delta x} dx + {\delta z \over \delta y} dy = fx \; dx + fy \; dy$

• Condición de Primer Orden

$\delta z = 0\longrightarrow fx \; = \;0 \;\;$ y $\;\;fy \; = \; 0$
Para encontrar $x^*$ y $y^*$ resolver el sistema de ecuaciones resultantes.

• Condición de Segúndo Orden

$$d^{2}_z = {\delta \over x} (fx \; dx + fy\; dy) + {\delta \over y} (fx\; dx + fy\; dy) = fxx\; dy^{2} +2\; fx\; y\; dx\; dy + fy\; y; dy^{2}$$
Condición: $$fxx, \; fyy <0 \;\;\; y \;\;\; fxx\;fyy > f(x,y)^2; \;\;\; MAX$$ $$fxx, \; fyy >0 \;\;\; y \;\;\; fxx\;fyy > f(x,y)^2; \;\;\; MIN$$

Función Objetivo con mas de dos Variables

Caso de tres variables

$$Z = f(x_1, x_2, x_3)$$

• Condición de primer orden $$dz = 0 \rightarrow f_1 = f_2 = f_3 = 0$$

En el proceso: Resolver els sistema de ecuaciones para $x^{*}_1, \; x^{*}_2, \; x^{*}_3$, lo cual implica un valor estacionario.

• Condición de segundo orden

Determinante Hacobiano ($|H|$)

	$|f_{11} \;\;\; f_{12} \;\;\; f_{13} |$
$H =\;\;\;$	$|f_{21} \;\;\; f_{22} \;\;\; f_{23} |$
	$|f_{31} \;\;\; f_{32} \;\;\; f_{33} |$

Matriz de segundas derivadas parciales y cruzadas

De este ($|H|$) se obtienen los menores: $|H_1| = f11,$

	$|f_{11} \;\;\; f_{12}|$
$|H_2| =\;\;\;$	$|f_{21} \;\;\; f_{22}|,$

$\;\;$
$|H_3| = |H|$
A partir de estos se evalua:
$$Si: |H_1| < 0; |H_2| > 0; |H_3| < 0 \; \longrightarrow d^{2}Z < 0; \;\;\;\;\; MAX$$ $$Si: (|H_1|; |H_2|; |H_3|) > 0 \; \longrightarrow d^{2}Z > 0; \;\;\;\;\; MIN$$

Caso de N variables

Las condiciones se extienden de la misma manera, manteniendo las relaciones y condiciones.
Para el caso $d^{2}z < 0$ para $Hi$ los signos se alternan en valores $i$ par (+) e impar (-) en la condición.

Optimización con Restricción de Igualdad

Metodo de Multiplicadores de Lagrange $(\lambda)$

$$U = x_1 x_2 + 2x_1$$ Restrinción $g(); \longrightarrow Z = x_1x_2+2x_1+\lambda(Restricción)$
$Z=f(x_1,x_2,)$función lagrangiana

Aplicamos condición de primer orden $f`(\lambda, x_1, x_2) = 0$

Resolvemos el sistema de eucaciones.

Condicion de Segundo orden

• Aplicamos Hessiano Orlado $(|\bar{H}|)$

	$|\;0 \;\;\; g_{1} \;\;\; g_{2} |$
$|\bar{H}| =\;\;\;$	$|g_{1} \;\;\; z_{11} \;\;\; z_{12} |$
	$|g_{2} \;\;\; z_{21} \;\;\; z_{22} |$

Orla: $g_1 \;\;\;\; g_2$

• Criterio de Clasificación

$Si: |\bar{H_2}| >0; |\bar{H_3}|<0; |\bar{H_4}|>0; (-1)^{n} |\bar{H_n}| >0 \longrightarrow d^{2}Z <0 \;\;\; : MAX$

$Si: |\bar{H_2}| <0; |\bar{H_3}|<0; |\bar{H_4}|<0 \longrightarrow d^{2}Z >0 \;\;\; : MIN$


Fuente Consultada Chiang, Alpha & Wainwright; Métodos Fundamentales de Economía Matemática; 4ta edición; McGraw-Hill; 2006.