Freddy Ogando

May 11, 2019

Optimización: Análisis de Equilibrio

(Preliminar, en desarrollo)

Equilibrio Intermedio: Fuerzas opuestas se equilibran entre sí, y por todo se evita cualquier tendencia a cambiar. Equilibrio de mercado (Análisis Estático).
Equilibrio final: Estado de quilibrio como una posición óptima para una dterminada unidad económica, la cual lucha de manera deliverada para alcanzar la condición e equilibrio (\(\pi\) \(máximo\)).
Optimizar: Elegir la meor alternativa posible en base a criterios específicos. Criterio mas común: Máximo y mínimo (valor extremo).

Formulación de un problema de Optimización:

1. Función Objetivo:

• Variable dependiente: \[Objetivo {{\longrightarrow} Max \atop {\longrightarrow} Min}\]
• Variables independientes: Variables de Elección

Esencia del Problema: Encontrar el conjunto de valores de las variables independientes que conducen al extremo deseado de la variable dependiente.

Máximo y Mínimo Relativo:

Extremo relativo: Representa un extremo en la vecindad inmediata del punto.
Extremo Absoluto: El mayor o menor de todos los extremos relativos y puntos extremos.

Criterio de primera derivada:

\[f'(x) = 0 {{\longrightarrow}\; Valor \; Estacionario \atop {\longrightarrow} \; Condición \; Necesaria}\]

• La estipulación de cambio de signo inmediatamente a ambos lados del punto estacionario -condición suficiente.

Simulación gráficas (pendiente)

Dominio: Valores que puede asumir la variable independiente.
Imagen: Valores determinados para la variable dependiente.

Derivadas Segundas y de Orden Superior

Derivada de una derivada \(f''(x)\) o \(\displaystyle{d^{a}_y \over dx^2}\) y así sucesivamente para orden superior.

Interpretación:

\(f''(x)\): El ritmo al que crece la tasa de cambio.

	\(f''(x) > 0 \longrightarrow Creciente \; \; \; |\)	\(f''(x) < 0 \longrightarrow Decreciente\)
Curva: \(\;\;\;\)	Extrictamente convexa	Extrictamente Concava
Extremo: \(\;\;\;\)	Mínimo	Máximo

• En un punto de inflexión \(f'(x)\) no cambia de singo a los lados cercanos al valor estacionario pero \(f''(x)\) sí según el ritmo.

Criterio de la segunda derivada

• Condición necesaria de primer orden \(f'(x) = 0\)
• Condición suficiente de segundo orden signo \(f''(x) {{> 0 \longrightarrow Mínimo} \atop {< 0 \longrightarrow Máximo}}\)

Sustituir el valor de x que hace \(f'(x) =0\) en \(f''(x)\).

Procedimiento (en terminos prácticos)

1. Obtener la primera derivada de la función dada (\(f'(x)\))
2. Igualar a cero la función resultante (\(f'(x) = 0\))y resolver ecuación obteniendo las \(x_i*\)
3. Obtener la segunda derivada (\(f''(x)\))
4. Sustituir las \(x_i*\) en  la segunda derivada (\(f''(x)\))

Caso de más de una variable de Elección

\[Z=f(x,y)\]
Diferencial Total: \(dz= {\delta z \over \delta x} dx + {\delta z \over \delta y} dy = fx \; dx + fy \; dy\)

• Condición de Primer Orden

\(\delta z = 0\longrightarrow fx \; = \;0 \;\;\) y \(\;\;fy \; = \; 0\)
Para encontrar \(x^*\) y \(y^*\) resolver el sistema de ecuaciones resultantes.

• Condición de Segúndo Orden

\[d^{2}_z = {\delta \over x} (fx \; dx + fy\; dy) + {\delta \over y} (fx\; dx + fy\; dy) = fxx\; dy^{2} +2\; fx\; y\; dx\; dy + fy\; y; dy^{2}\]
Condición: \[fxx, \; fyy <0 \;\;\; y \;\;\; fxx\;fyy > f(x,y)^2; \;\;\; MAX\] \[fxx, \; fyy >0 \;\;\; y \;\;\; fxx\;fyy > f(x,y)^2; \;\;\; MIN\]

Función Objetivo con mas de dos Variables

Caso de tres variables

\[Z = f(x_1, x_2, x_3)\]

• Condición de primer orden \[dz = 0 \rightarrow f_1 = f_2 = f_3 = 0\]

En el proceso: Resolver els sistema de ecuaciones para \(x^{*}_1, \; x^{*}_2, \; x^{*}_3\), lo cual implica un valor estacionario.

• Condición de segundo orden

Determinante Hacobiano (\(|H|\))

	\(|f_{11} \;\;\; f_{12} \;\;\; f_{13} |\)
\(H =\;\;\;\)	\(|f_{21} \;\;\; f_{22} \;\;\; f_{23} |\)
	\(|f_{31} \;\;\; f_{32} \;\;\; f_{33} |\)

Matriz de segundas derivadas parciales y cruzadas

De este (\(|H|\)) se obtienen los menores: \(|H_1| = f11,\)

	\(|f_{11} \;\;\; f_{12}|\)
\(|H_2| =\;\;\;\)	\(|f_{21} \;\;\; f_{22}|,\)

\(\;\;\)
\(|H_3| = |H|\)
A partir de estos se evalua:
\[Si: |H_1| < 0; |H_2| > 0; |H_3| < 0 \; \longrightarrow d^{2}Z < 0; \;\;\;\;\; MAX\] \[Si: (|H_1|; |H_2|; |H_3|) > 0 \; \longrightarrow d^{2}Z > 0; \;\;\;\;\; MIN\]

Caso de N variables

Las condiciones se extienden de la misma manera, manteniendo las relaciones y condiciones.
Para el caso \(d^{2}z < 0\) para \(Hi\) los signos se alternan en valores \(i\) par (+) e impar (-) en la condición.

Optimización con Restricción de Igualdad

Metodo de Multiplicadores de Lagrange \((\lambda)\)

\[U = x_1 x_2 + 2x_1\] Restrinción \(g(); \longrightarrow Z = x_1x_2+2x_1+\lambda(Restricción)\)
\(Z=f(x_1,x_2,) \)función lagrangiana

Aplicamos condición de primer orden \(f`(\lambda, x_1, x_2) = 0\)

Resolvemos el sistema de eucaciones.

Condicion de Segundo orden

• Aplicamos Hessiano Orlado \((|\bar{H}|)\)

	\(|\;0 \;\;\; g_{1} \;\;\; g_{2} |\)
\(|\bar{H}| =\;\;\;\)	\(|g_{1} \;\;\; z_{11} \;\;\; z_{12} |\)
	\(|g_{2} \;\;\; z_{21} \;\;\; z_{22} |\)

Orla: \(g_1 \;\;\;\; g_2\)

• Criterio de Clasificación

\(Si: |\bar{H_2}| >0; |\bar{H_3}|<0; |\bar{H_4}|>0; (-1)^{n} |\bar{H_n}| >0 \longrightarrow d^{2}Z <0 \;\;\; : MAX\)

\(Si: |\bar{H_2}| <0; |\bar{H_3}|<0; |\bar{H_4}|<0 \longrightarrow d^{2}Z >0 \;\;\; : MIN\)


Fuente Consultada Chiang, Alpha & Wainwright; Métodos Fundamentales de Economía Matemática; 4ta edición; McGraw-Hill; 2006.