Análisis Estático Comparativo - Derivadas y Diferenciación

Freddy Ogando

April 30, 2019

(Preliminar, en desarrollo)

Análisis Estático Comparativo

El Análisis Estático Comparativo puede ser Cualitativo (dirección del cambio es el único elemento considerado) o Cuantitativo (objetivo es la magnitud del cambio, abarcando la dirección).

Tiene que ver la comparación de distintos estados de equilibrio relacionados con distintos conjuntos de valores de parámetros y variables exógenas. No se toma en cuenta el proceso de ajuste de las variables, se compara el equilibrio inicial con el final. Se supone que ese equlibrio se puede alcanzar, exluyendo la posibilidad de inestabilidad. El problema en consideración es básicamente el de hallar una tasa e cambio, de valor de equilibrio de una variable endógena respecto al $\Delta$ en una variable exógena o parámetro.

Tasa de Cambio y Derivada

$y = f(x)$ Cociente de diferencias $${\Delta y \over \Delta x} = {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \over \Delta x}$$

-Cuando evaluamos “el límite … cuando $\Delta x \rightarrow{} 0$”. El cambio se hace infinitesimal con lo ual obtenemos, que la función derivada $f^{’}(x)$ de la primitiva $f(x)$ es una tasa de cambio instantánea.

‘Concepto de derivada’
$$\displaystyle{\lim_{ \Delta x \rightarrow 0}} {\Delta y \over \Delta x} \equiv {dy \over dx} \equiv f^{'}(x)$$

Reglas de Diferenciación

1. $f(x) = k, \Longrightarrow {d f(x) \over d x} = {d k \over dk} = 0$
2. $f(x) = cx^{n}, \Longrightarrow {d f(x) \over d x} = {nc x ^{n-1}}$
3. ${d \over d x} {f(x) \over g(x)} = {g(x) f^{'}(x) - g^{'}(x) f(x) \over g^{2}(x)}$
4. ${d \over d x} {[f(x) \ast g(x)]} = {g(x) f^{'}(x) + g^{'}(x) f(x)}$
5. ${d \over d x} [f(x) { + \atop - } g(x)] = {f^{'}(x) {+ \atop - } g^{'}(x)}$
6. $z= f(y), y = g(x), x = h(w) \Longrightarrow {d z \over d x} = {dz \over dy} \ast {dy \over dx} = f^{'}(x) \ast g^{'}(x)$

Logaritmo y exp

1. $f(x)=ln(x) \Longrightarrow {d f(x) \over dx} = {1 \over f(x)} * f '(x)$
2. $g(x)=e^{f(x)} \Longrightarrow {d g(x) \over dx} = f'(x)*e^{f(x)}$

1.  

Funciones trigonométricas

 $f(x) = \sin(x) \quad \Longrightarrow \quad \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$
$f(x) = \cos(x) \quad \Longrightarrow \quad \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)$
$f(x) = \tan(x) \quad \Longrightarrow \quad \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)$

Derivada Parcial

$$y = f(x_1, x_2, ..., x_n) \Longrightarrow f_1 \equiv {\delta \over \delta x_1} \equiv \displaystyle{\lim_{ \Delta x \rightarrow 0}} {\Delta y \over \Delta x_1}$$

Al determinar el efecto parcial respecto a una variable se asume que todo lo demás se mantiene constante (variable $(n-1)$).

Vector gradiente: entidad matemática bajo la cual se agrupan todas las derivadas parciales de una función.

$grad f(x_1, x_2, ..., x_n) = (f_1, f_2, ..., f_n)$

Una derivada parcial es una medida de las razones instantáneas de cambio de alguna variable.

Análisis Estático con Funciones - Diferenciales

Para estos fines se asume el símbolo $dy \over dx$ como una relación de dos cantidades, $dy$ y $dx$.
Diferenciales: Dado un valor específico de $dx$, podemos multiplicar por $f^{'}(x)$ para obetener dy como una aproximación a $\Delta y$.
Elasticidad puntual $$\epsilon _d \equiv {{dQ \over Q} \over {dp \over p}} = {{dQ \over dp} \over {Q \over p}} = {Mrg Funtion \over Av Funtion}$$
Diferencial Total La suma de las diferenciales parciales de la función.
$$S = S(y,i) \longrightarrow dS = {\delta S \over \delta y} dy + {\delta S \over \delta i} di$$
Derivada Total $y=f(x,w)$ donde $x = g(w)$,
Relación de las variables en la función:
$$\displaystyle{ \displaystyle{y \stackrel{\stackrel{f} {\longleftarrow} x \stackrel{g} {\longleftarrow} w } {\longleftarrow}}}$$
$$y = f[g(w), w] \Longrightarrow {dy \over dw} = {\delta y \over \delta x} {dx \over dw} + {\delta y \over \delta w}$$
Función Exponencial y Logaritmicas $${d \over dt} e^{f(t)} = f^{'}(t) e ^{f(t)}$$ $${d \over dt} ln f(t) = {1 \over v} {dv \over dt} = {1 \over f(t)} f^{'}(t)$$

Derivadas de Funciones Exponenciales y Logaritmicas

${d \over dt} e ^{f(t)} = f^{'}e^{f(t)}$ ${d \over dt} lnf(t) = {f^{'}(t) \over f(t)}$
*Caso de base $b e$ se puede transformar aplicando $ln$ de ambos lados al igual para cualquier función compleja por productos o cocientes:
$y = f(x) \longrightarrow ln y = lnf(x) \longrightarrow {\delta ln y \over \delta x} = {1 \over y} {dy \over dx} \longrightarrow {dy \over dx} = {\delta ln y \over \delta x} * y$

Otras aplicaciones:

Determinacón tasa de Crecimieno instantánea:

$y = f(t) \longrightarrow ry \equiv {{dy \over dt} \over y} = {f^{'}(t) \over f(t)} \longrightarrow ry = {d \over dt} lnf(t)$
De una convinación de funciones
$$y= uv {u=f(t)\brace v=g(t)} \Longrightarrow lny = lnu+lnv \longrightarrow ry = {d \over dt} lnu + {d \over dt} lnv$$ $$y = {u \over v} \Longrightarrow lny=lnu-lnv \longrightarrow ry= {d \over dt}lnu - {d \over dt}lnv$$
Elasticiada puntual: $y=f(x) \longrightarrow \epsilon _{yx} = {dlny \over dlnx}$


La regla de L'Hopital para evaluar el límite de funciones con forma indeterminadas

 

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x) = L

La regla, consisten el ratio de las derivadas y es util para evluar el limite de formas indeterminadas (0/0, inf/inf) cuando x tiende a un valor "a" que puede ser cero o infinito.

Fuente Consultada


Chiang, Alpha & Wainwright, Kevin (2006). Métodos Fundamentales de Economía Matemática; 4ta edición, México.